中國(guó)科學(xué)院院士、數(shù)學(xué)家袁亞湘在《數(shù)學(xué)漫談》中指出：數(shù)學(xué)之慧在于數(shù)學(xué)需要想象力。有人認(rèn)為，想象力是天生的，后天難以改變。我不同意這一說(shuō)法。人和人之間的天賦會(huì)有差異，但任何人的想象能力只要經(jīng)過(guò)培養(yǎng)和啟發(fā)，就一定可以得到提高。數(shù)學(xué)想象力關(guān)鍵在于“激發(fā)”和“培育”，要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象潛能，為其發(fā)展創(chuàng)造條件、指示方向、提供實(shí)踐機(jī)會(huì)等，使其數(shù)學(xué)想象潛能最大限度地得以發(fā)揮與施展。

要使學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力有效提升，必須了解和遵從數(shù)學(xué)想象的機(jī)理。數(shù)學(xué)想象本質(zhì)上是一種“自由知性主觀下的再生”，還有比“知性主觀”更高層次的，如“靈性”“智性”的“主觀”。數(shù)學(xué)想象力要素有感覺(jué)、直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、聯(lián)想、選擇、類(lèi)比、猜想、合成，等等。數(shù)學(xué)想象力是一種統(tǒng)合、集成感知覺(jué)與其他神經(jīng)機(jī)能，賦予事物新形式、新認(rèn)知的能力。數(shù)學(xué)想象的基礎(chǔ)是記憶表象、知識(shí)的回憶、聯(lián)想，基本要求是“新奇與合理的統(tǒng)一”，往往遵循的是異常、超常、反常邏輯。作為一種高級(jí)智能，數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用、數(shù)學(xué)才能、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)智慧的綜合顯示，是一種連接感性和知性的高級(jí)認(rèn)知過(guò)程，本質(zhì)上是一種形象思維，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造很大程度上也是根源于這種形象思維。數(shù)學(xué)想象涉及表象的分解、組合、類(lèi)比、聯(lián)想，最后才是想象。在數(shù)學(xué)想象過(guò)程中，需要選出數(shù)學(xué)知識(shí)之間不同的要素，嘗試進(jìn)行不同組合，看看怎樣會(huì)起作用，并根據(jù)已有知識(shí)來(lái)取舍。

如何強(qiáng)化數(shù)學(xué)想象力？既要增加數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，又要適時(shí)跳出思維定式，靈活組合數(shù)學(xué)知識(shí)。在數(shù)學(xué)想象的過(guò)程中，數(shù)學(xué)知識(shí)是想象力通往現(xiàn)實(shí)的橋梁和道路，在邏輯力的帶領(lǐng)下，想象力才能有目的有方向地“照進(jìn)現(xiàn)實(shí)”。很多人的想象力很豐富，想的很多，但沒(méi)有足夠的數(shù)學(xué)能力和才華，就會(huì)在駕馭想象力方面力不從心。而數(shù)學(xué)才華和能力，本質(zhì)上就是邏輯思維和數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。

其實(shí)，數(shù)學(xué)想象力也是分等級(jí)的，它是由數(shù)學(xué)幻想抽象能力、數(shù)學(xué)幻想意象能力、數(shù)學(xué)幻想形象能力、數(shù)學(xué)幻想具象能力和數(shù)學(xué)想象的能力所組成。每一級(jí)別想象力的實(shí)現(xiàn)，都需要不同量級(jí)的新信息和知識(shí)作為橋梁和通路，同時(shí)，需要自由探索和操作實(shí)踐。正如著名數(shù)學(xué)家懷特海所指出的，整個(gè)數(shù)學(xué)所涵括的正是組織起一系列協(xié)助我們?cè)谒伎歼^(guò)程中補(bǔ)助想象的工具。不同數(shù)學(xué)想象力等級(jí)的人，其數(shù)學(xué)成就通常也不同。我們所能做的就是力求讓數(shù)學(xué)想象的不同層級(jí)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)變、提升和迭代躍級(jí)。這需要了解、探究和遵從數(shù)學(xué)想象的機(jī)理，精心設(shè)計(jì)并有效組織實(shí)施，積累豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

培育數(shù)學(xué)想象力，關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)家“做數(shù)學(xué)”的思維方式。實(shí)踐中，養(yǎng)護(hù)數(shù)學(xué)想象力的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)滲透到學(xué)生的數(shù)學(xué)求知與認(rèn)知建構(gòu)中。想象是最自由的思考，可以超越時(shí)間、空間和邏輯。數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維與創(chuàng)造的邊界，就是數(shù)學(xué)想象力到達(dá)的邊界。正如法國(guó)作家雨果所說(shuō)：“想象就是深度，這正是我們已經(jīng)指出的，并且為思想家所共知的一個(gè)真理……科學(xué)到了最后階段，便遇上了想象?！庇旯f(shuō)的“科學(xué)到了最后階段，便遇上了想象”似可商榷。事實(shí)上，在最初階段，當(dāng)數(shù)學(xué)家面對(duì)感興趣的事物時(shí)便會(huì)遇到想象。數(shù)學(xué)教育要養(yǎng)護(hù)數(shù)學(xué)想象原動(dòng)力——數(shù)學(xué)家的詩(shī)性、自由精神，養(yǎng)護(hù)其源泉——本能、天賦、游戲……與世界靈性、智性對(duì)話(huà)的欲求。想象是心的游戲，是不管和事實(shí)距離多大，只以自己為對(duì)象的任意的游戲。數(shù)學(xué)想象力源于數(shù)學(xué)家本性中的游戲精神。數(shù)學(xué)家的詩(shī)性精神是數(shù)學(xué)想象力不竭的動(dòng)力來(lái)源，要精心維護(hù)和保養(yǎng)。數(shù)學(xué)游戲是數(shù)學(xué)家們想象力創(chuàng)造世界的預(yù)演，是數(shù)學(xué)想象本能、智慧的嶄露頭角，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的萌芽。

數(shù)學(xué)思維的奧秘就在于數(shù)學(xué)家獨(dú)特的思考方式。數(shù)學(xué)家善于抽象，能夠?qū)F(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型、猜想或假設(shè)，并通過(guò)邏輯推理來(lái)驗(yàn)證。在此，數(shù)學(xué)家的想象力使得他們能夠不斷超越數(shù)學(xué)的邊界，發(fā)現(xiàn)新的思路、方法、問(wèn)題和理論。正如菲爾茨獎(jiǎng)獲得者陶哲軒曾指出的那樣：創(chuàng)造力是一個(gè)數(shù)學(xué)家最基本的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創(chuàng)造一個(gè)世界，然后用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C和邏輯推理去得到一個(gè)答案。這是一種高度抽象并解決問(wèn)題的能力，這才是數(shù)學(xué)真正能賦予孩子更多可能性的東西。

實(shí)踐中，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展一般都要經(jīng)歷漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程，其中不乏艱難與曲折，離不開(kāi)數(shù)學(xué)家們執(zhí)著奮斗與努力想象的過(guò)程。只是為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，編寫(xiě)教材時(shí)所有的數(shù)學(xué)知識(shí)（概念、原理）都以定論（定義、定理、公式等）形式出現(xiàn)，幾乎全部略去了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程與數(shù)學(xué)概念的形成探索過(guò)程，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力顯然是不利的。各個(gè)層次的數(shù)學(xué)課程中都缺失了這樣重要的一環(huán)——對(duì)模糊和混亂的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造過(guò)程的忠實(shí)描述，而這個(gè)缺失是數(shù)學(xué)課讓最積極的學(xué)生也難以養(yǎng)成數(shù)學(xué)想象力的主要原因之一。如果對(duì)數(shù)學(xué)概念創(chuàng)造過(guò)程中的“思想之舞”沒(méi)有深刻認(rèn)識(shí)，就無(wú)法充分領(lǐng)悟數(shù)學(xué)想象的魅力和美麗，也無(wú)法體會(huì)數(shù)學(xué)想象在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程中的作用。我們應(yīng)努力挖掘和創(chuàng)造條件，盡量為想象力發(fā)展架橋開(kāi)路，提供愉悅、順暢的發(fā)展環(huán)境，讓想象力的種子能自由地生根、發(fā)芽。

然而我們看到，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界對(duì)養(yǎng)護(hù)想象力存在一定的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，還普遍存在著“數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)家的專(zhuān)利，數(shù)學(xué)想象只有從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造的數(shù)學(xué)家才需要，一般學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不需要數(shù)學(xué)想象”的認(rèn)識(shí)。一些人要么認(rèn)為“數(shù)學(xué)想象力是一種可訓(xùn)練的技能，與天賦無(wú)關(guān)”，要么認(rèn)為“數(shù)學(xué)想象力由天賦決定無(wú)法培育”，還有人認(rèn)為“培育數(shù)學(xué)想象力與數(shù)學(xué)知識(shí)的教育之間存在矛盾，數(shù)學(xué)知識(shí)的教育是反想象的，數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)多了就會(huì)失去數(shù)學(xué)想象力”。

事實(shí)上，任何一個(gè)孩子都具有想象力的潛能，他們有時(shí)天馬行空、稀奇古怪的想法其實(shí)正是其可貴的想象力的火花。我們要精心呵護(hù)孩子頭腦中產(chǎn)生的想象力火花，要將培育數(shù)學(xué)想象力作為數(shù)學(xué)智育的重要追求，扎扎實(shí)實(shí)、持之以恒地落實(shí)在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中。

至于“培育數(shù)學(xué)想象力與數(shù)學(xué)知識(shí)的教育之間存在矛盾”，也許不無(wú)道理。數(shù)學(xué)知識(shí)的教育追求精確、統(tǒng)一、規(guī)范，數(shù)學(xué)想象力則重猜測(cè)、求異、反規(guī)范。數(shù)學(xué)知識(shí)的教育，尤其授受式、封閉式的教育，確實(shí)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)想象力發(fā)展造成一定的抑制，但只要處理好二者關(guān)系，采用開(kāi)放式而非封閉式、存在式而非占有式的教學(xué)方法，使數(shù)學(xué)知識(shí)的教育與喚醒開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)想象力相伴而行，其矛盾并非不可調(diào)和。正如蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基所說(shuō)：“教師把準(zhǔn)備好的種種原理、結(jié)論和推理一股腦兒塞進(jìn)兒童的腦子，往往不讓兒童有可能哪怕接觸一下思維和活的言語(yǔ)的源泉，這就捆住了他們的幻想、想象力和創(chuàng)造力的翅膀?！北３?jǐn)?shù)學(xué)理性與感性生活的交融，讓孩子不斷地得到思維激活，數(shù)學(xué)想象力才不會(huì)枯竭；以充滿(mǎn)想象力的方式傳知、求知，這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)教育才能反哺數(shù)學(xué)想象力的養(yǎng)成。

（作者：徐彥輝，系溫州大學(xué)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)、數(shù)理學(xué)院副教授）

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